হিলবার্টের দ্বাদশ সমস্যা - সমিত দাশগুপ্ত, মহেশ কাকড়ে

সমিত দাশগুপ্ত এবং মহেশ কাকড়ে হিলবার্টের দ্বাদশ সমস্যাটি সমাধান করে ফেলেছেন। শতক প্রাচীন দুরুহ প্রশ্ন।

জার্মান গণিতজ্ঞ হিলবার্ট ১৯০০ সালে ২৩টি গাণিতিক সমস্যার একটা লিস্ট বানিয়েছিলেন। সমস্যা গুলো পরবর্তী শতকে বহু গণিতজ্ঞকে ভাবিয়েছে। এইটি তারই একটি। (দৈনিক আনন্দবাজার দাশগুপ্ত-কাকড়ে-র কাজটি নিয়ে একটি প্রতিবেদন লিখেছেন। দুঃখের বিষয় সেখানে বাঙালি-টাঙালি বলে কিসব একটা যেন তারা করতে চেয়েছেন। মুল সমস্যাটা নিয়ে কোনো কথা লেখেননি। সমাধানের প্রকরণ তো অউর দূর কি বাত)।

আমি নাম্বার থিয়োরিস্ট নই। তবু একটা চেষ্টা করছি সমস্যাটা কি বোঝানোর। খানিকটা ধৈর্য লাগবে। কিন্তু বোঝা যাবে। কতক গুলো শব্দ জানতে হবে।

[ফিল্ড] হচ্ছে এমন একটি সেট, যার মধ্যে থেকে যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ* করা যায়। ফিল্ডের যে কোনো দুটো সদস্যকে যোগ বা বিয়োগ করলে, সেই সেটের আরেকটি সদস্য পাওয়া যাবে। ফিল্ডের যে কোনো দুটো সদস্যকে গুণ অথবা ভাগ করলে, সেই সেটের আরেকটি সদস্য পাওয়া যাবে।

ফিল্ড যেন এক স্বয়ংসম্পুর্ণ জগৎ। যা হবে সেটের মধ্যেই হবে বাইরে বেরোবে না।

উদাহরণঃ { ১/২, ৫/৩, ০, -৩/৪, ... } - সমস্ত rational number (অর্থাৎ যে সব সংখ্যাকে দুটো গোটা সংখ্যার অনুপাত হিসেবে লেখা সম্ভব, তাদের সেট।

[গ্রুপ] হচ্ছে এমন একটি সেট যার মধ্যে থেকে শুধু যোগ বিয়োগ করা যাবে।
'যোগ' বলছি বটে কিন্তু সদস্যরা যদি সংখ্যা না হয়? তাহলেও যদি দুটি সদস্যকে 'মিলিত' করার কোনো পদ্ধতি বলতে পারি তাহলে সেই অপারেশনটিকে যোগের বদলে # বলব। মাথায় রাখতে হবে যে গ্রুপের সদস্যরা সংখ্যা নাও হতে পারে।

উদাহরণঃ {... -৩, -২, -১, ০, ১, ২, ৩, ... } ... সমস্ত গোটা সংখ্যা। যে কোনো দুটো গোটা সংখ্যাকে যোগ করলে অথবা বিয়োগ করলে গোটা সংখ্যাই পাওয়া যায়।

[ফিল্ড এক্সটেনশন] - একটা ফিল্ড যদি আরেকটার পেটের মধ্যে থাকে তাহলে বড় জন-কে ছোটটির ফিল্ড এক্সটেনশন বলা যাবে।

[Abelian গ্রুপ] - ধরা যাক G = {a, b, c, d, ... } একটি গ্রুপ। যদি a#b = b#a হয় তাহলে গ্রুপটিকে Abelian বলা হয়। কিছু কিছু গ্রুপের ক্ষেত্রে এমনটা হয় না। তারা Abelian নয়।
আমাদের কারবার হবে একটা ফিল্ড 'ক' এবং তার এক্সটেনশন 'খ' কে নিয়ে। 'ক' হচ্ছে ছোট জন। আরে তাকে পেটের মধ্যে রেখেছে বড়জন।

ক --> খ অবধি আমরা ফাংশন বানাতে পারি। ফাংশন মানে কি? ব্যাপারটা রংমিলন্তির মত। ক-এর প্রতিটি সদস্যকে কোনো একটা নিয়মে খ-এর সদস্যদের সাথে মিলিয়ে দিতে হবে। এই মিলিয়ে দেওয়ার এক একটি নিয়ম হচ্ছে এক একটি ফাংশন। এরকম অনেক নিয়ম (অনেক ফাংশন) থাকতে পারে। ফাংশন গুলোর একটি সেট বানানো যাক।

ক --> ক অবধিও ফাংশন হতে পারে। ক-এর সদস্যদের ক-এরই অন্য সদস্যদে সাথে মিলিয়ে দেওয়া যায়।

যেমন ধরা যাক ক = {সাহেব, বিবি, গোলাম}। এবার ক থেকে ক অবধি মিলন্তি খেলা যাক। ফাংশন বানানো যাক।

• ফাংশন ১ঃ
  • সাহেব --> বিবি,
  • বিবি --> গোলাম,
  • গোলাম --> সাহেব
    

• ফাংশন ২ঃ
  • সাহেব --> সাহেব,
  • বিবি --> গোলাম,
  • গোলাম --> বিবি
    

এমন আরো কতো ফাংশন হতে পারে। ফাংশনদের set কে আমরা Automorphism Group বলব। এই সেট-টাও একটা গ্রুপ তৈরী করে। এই গ্রুপের সদস্যরা হলো ফাংশন। সংখ্যা নহে।

ধরা যাক 'ক' হচ্ছে একটা ফিল্ড। খ হচ্ছে ক-এর ফিল্ড এক্সটেনশন। অর্থাৎ ক আছে খ-এর মধ্যে। এবার খ --> খ (বড়জন থেকে বড়জন) সব automorphism গুলো দেখা যাক। এই automorphism গুলোর মধ্যে কতকগুলো ফাংশন হলো 'ভালো ফাংশন'। ভালো ফাংশন গুলোর একটা গুণ আছে। তারা ছোট ভাইকে ঘরছাড়া করবে না। অর্থাৎ x যদি ক এর সদস্য হয়, তাহলে ভালো ফাংশন x কে x -এর সাথেই মিলিয়ে দেবে। নড়া চড়া করাবে না। এই ভালো ফাংশনের সেট-কে গ্যালোয়াঁ গ্রুপ বলা হয়। যদি এই গ্রুপটি abelian হয় তাহলে খ-কে ক-এর abelian field extension** বলা হয়।

অতঃপর হিলবার্ট কহিলেন, হে গণিতজ্ঞগণ, extensionটি যদি abelian হয় তাহলে বড়জনকে ছোটোটির রক্তমাংস থেকে গড়তে কেমনতর নতুন সদস্য লাগিবে?

অর্থাৎ ...

যদি L যে কোনো ফিল্ড হয় এবং K তার abelian এক্সটেনশন হয় তাহলে এই K -কে L -এর থেকে গড়ে তুলতে কি কি অতিরিক্ত সদস্য লাগবে? K যেহেতু L -এর বড়ভাই, বড় সেট যার মধ্যে L আছে, তাহলে K -এর মধ্যে আরো কিছু থাকতে হবে। এই 'আরো কিছু'-রা কারা? [যদি জানি যে এক্সটেনশনটি abelian]। সমিত দাশগুপ্ত, মহেশ কাকড়ে এই প্রশ্নটির উত্তর খুঁজে বার করেছেন।

**algebraic abelian extension বললে ভালো হত।

*ফিল্ডের মধ্যে ০ থাকবে। তাকে দিয়ে ভাগ করা যাবে না।